In diesem Beitrag erfahren Sie alles, was Sie über Gleitkommazahlen, ihre Schreibweise und ihre Darstellung in Computern wissen müssen. In diesem Artikel erfahren Sie nicht nur, was Gleitkommazahlen sind, sondern auch, wie sie gespeichert werden und was eine Gleitkommazahl gültig macht.
Was ist eine Gleitkommazahl?
Eine Gleitkommazahl ist eine numerische Darstellung für reelle Zahlen, insbesondere für solche, die ein hohes Maß an Präzision erfordern. Im Gegensatz zu ganzen Zahlen können Gleitkommazahlen sowohl sehr große als auch sehr kleine Werte, einschließlich Dezimalzahlen, darstellen. Sie sind besonders nützlich im wissenschaftlichen Rechnen, im Ingenieurwesen und bei allen Anwendungen, die Berechnungen mit reellen Zahlen erfordern, bei denen es auf Präzision ankommt.
Eine Gleitkommazahl besteht aus zwei Hauptteilen: der Mantisse (oder Signifikanz) und dem Exponenten. Die Mantisse enthält die signifikanten Ziffern der Zahl, während der Exponent die Zahl mit einer Potenz einer bestimmten Basis skaliert, normalerweise 10 in Dezimalsystemen oder 2 in Binärsystemen.
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Was ist Gleitkomma-Notation?
Die Gleitkommaschreibweise ist eine Möglichkeit zur Darstellung reeller Zahlen, die einen weiten Wertebereich ermöglicht. Typischerweise wird es in der Form ausgedrückt:
cssm × b^e
Wo:
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- m ist die Mantisse (signifikante Ziffern)
- b ist die Basis (normalerweise 2 für Binärzahlen oder 10 für Dezimalzahlen)
- e ist der Exponent, der die Skalierung oder Position des Dezimalpunkts bestimmt.
Beispielsweise kann in der Basis 10 die Zahl 5.200 in Gleitkommaschreibweise als 5,2 × 10^3 geschrieben werden. Diese Form ermöglicht es Computern, sowohl sehr große als auch sehr kleine Zahlen ohne Präzisionsverlust effizient zu verarbeiten.
Was versteht man unter Gleitkommadarstellung?
Unter Gleitkommadarstellung versteht man die Art und Weise, wie reelle Zahlen im Speicher eines Computers gespeichert werden. In den meisten Computersystemen wird der IEEE 754-Standard verwendet, der definiert, wie Zahlen in Bits strukturiert werden. Die Darstellung unterteilt eine Gleitkommazahl in drei Teile:
- Das Vorzeichenbit, das bestimmt, ob die Zahl positiv oder negativ ist.
- Der Exponent, der die Zahl skaliert.
- Die Mantisse, die die signifikanten Ziffern der Zahl enthält.
Diese Struktur ermöglicht es Computern, Zahlen mit großer Präzision zu speichern und sehr große Wertebereiche zu verarbeiten, von winzigen Brüchen bis hin zu astronomischen Zahlen.
Wie werden Gleitkommazahlen im Computer gespeichert?
Gleitkommazahlen werden in binärer Form gemäß dem IEEE 754-Standard gespeichert. Einer Gleitkommazahl werden normalerweise 32 Bit (einfache Genauigkeit) oder 64 Bit (doppelte Genauigkeit) im Speicher zugewiesen. Hier ist eine Aufschlüsselung des Speicherformats für eine 32-Bit-Gleitkommazahl:
- 1 Bit für das Vorzeichen (0 für positiv, 1 für negativ).
- 8 Bits für den Exponenten, der so eingestellt ist, dass sowohl positive als auch negative Exponenten berücksichtigt werden.
- 23 Bits für die Mantisse, die die signifikanten Stellen der Zahl darstellt.
Wenn eine Zahl gespeichert wird, wird sie im Binärformat normalisiert und der Dezimalpunkt „schwebt“ abhängig vom Wert des Exponenten, was eine sehr hohe Präzision ermöglicht.
Was ist eine gültige Gleitkommazahl?
Eine gültige Gleitkommazahl entspricht dem angegebenen Format und kann im Speicher genau dargestellt werden. Es muss eine Mantisse und einen Exponenten haben und darf die durch den Gleitkommastandard festgelegten Grenzen nicht überschreiten (z. B. den durch einfache oder doppelte Genauigkeit zulässigen Bereich überschreiten).
Sonderfälle wie Unendlich, negative Unendlichkeit und „NaN“ (Not a Number) gelten ebenfalls als gültige Darstellungen im Gleitkommasystem, auch wenn sie nicht den typischen reellen Zahlen entsprechen.
Wir hoffen, dass dieser Artikel Ihnen dabei geholfen hat, mehr über Gleitkommazahlen, ihre Notation und ihre Darstellung in Computersystemen zu erfahren. Wir glauben, dass diese Erklärung klargestellt hat, wie Gleitkommazahlen gespeichert werden und was sie für die Berechnung gültig macht.
